作者：卜辰璟 所屬院系 數(shù)學(xué)科學(xué)系
關(guān)鍵詞：甜甜圈切塊 幾何
摘要
在甜甜圈上切兩刀，最多能切成多少塊？
這是一個(gè)有趣的問題，但是尋找答案的過程體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的一般流程：通過直覺猜想出可能的方法和結(jié)果，再進(jìn)行仔細(xì)論證。
切圓餅
甜甜圈是一個(gè)復(fù)雜的形狀——它不僅是立體的，甚至還有一個(gè)洞。這對(duì)我們來說太難了。因此，我們先從簡(jiǎn)單的情況開始?？紤]一個(gè)圓餅：
圓餅_.png)
每切一刀，我們就把一些已有的塊切成了兩份。要知道切縫經(jīng)過了多少個(gè)區(qū)域，只需要看它被已有的其它切縫分成了多少段。在切第n刀時(shí)，有n−1 條已有的縫。在最好的情況下，新的切縫與所有已有的切縫相交，形成n−1個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把新的切縫分成n段。因此，新增的塊數(shù)最多是n。切n刀能把圓餅分成的塊數(shù)最多是：
切蛋糕
考慮立體的圖形。
每一刀都把一些已有的塊切成兩份。和之前不同的是，我們的第 3 刀的切面經(jīng)過了 4 個(gè)已有的區(qū)域，把它們?nèi)家环譃槎?，得?8 塊蛋糕。事實(shí)上，要知道切面經(jīng)過了多少個(gè)區(qū)域，只需要把這個(gè)切面單獨(dú)拿出來看。我們發(fā)現(xiàn)，蛋糕的切面實(shí)際上是一個(gè)圓餅。新的切面和已有的切面相交于若干條直線，這就相當(dāng)于在圓餅上切了若干刀。切第n刀時(shí)增加的塊數(shù)最多是餅n−1 。
例如，如果我們?cè)诘案馍锨械?4 刀，可以這么切：
得到公式，在蛋糕上切n刀，得到的塊數(shù)最多為：
切曲奇
接下來研究帶洞的物體。曲奇上的洞可以看成是切了一刀，留下一個(gè)窄縫，但兩端沒有切斷。把其兩端切斷，那么塊數(shù)增加 2 塊，這和在圓餅切n+ 1刀的情況一樣，因此有曲奇n = 餅n+1 − 2
切甜甜圈
現(xiàn)在，我們做好準(zhǔn)備，可以解決文章開頭提出的問題。甜甜圈的本質(zhì)是挖了一個(gè)洞的蛋糕。從曲奇和圓餅的聯(lián)系可以猜測(cè)，甜甜圈和蛋糕也有類似的聯(lián)系：甜甜圈n=蛋糕n+1−2，甜甜圈的洞可以看成蛋糕上切了一刀，但兩端沒有切斷。如果切斷的話，塊數(shù)會(huì)多出 2。按照公式，預(yù)測(cè)兩刀最多能把甜甜圈切6塊；三刀，就能切成13 塊；甜甜圈的切面可以是圓餅，曲奇或者兩個(gè)圓餅。
餅n= (n2 + n + 2)/2 ，曲奇n = (n2 + 3n)/2 ，兩餅n = (n2 + 3n + 4)/2 。切面是兩個(gè)圓餅時(shí)，切面被分成的區(qū)域最多。因此，我們希望所有的切面都是兩個(gè)圓餅。此時(shí)，總的塊數(shù)最多是：
