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甜甜圈上切兩刀,最多能切成多少塊?
29數(shù)學(xué)系
作品介紹

作者:卜辰璟 所屬院系 數(shù)學(xué)科學(xué)系

關(guān)鍵詞:甜甜圈切塊 幾何

 

摘要

在甜甜圈上切兩刀,最多能切成多少塊?

這是一個(gè)有趣的問題,但是尋找答案的過程體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的一般流程:通過直覺猜想出可能的方法和結(jié)果,再進(jìn)行仔細(xì)論證。

 

切圓餅

甜甜圈是一個(gè)復(fù)雜的形狀——它不僅是立體的,甚至還有一個(gè)洞。這對(duì)我們來說太難了。因此,我們先從簡(jiǎn)單的情況開始??紤]一個(gè)圓餅:

每切一刀,我們就把一些已有的塊切成了兩份。要知道切縫經(jīng)過了多少個(gè)區(qū)域,只需要看它被已有的其它切縫分成了多少段。在切第n刀時(shí),有n−1 條已有的縫。在最好的情況下,新的切縫與所有已有的切縫相交,形成n−1個(gè)交點(diǎn),這些交點(diǎn)把新的切縫分成n段。因此,新增的塊數(shù)最多是n。切n刀能把圓餅分成的塊數(shù)最多是:

切蛋糕

考慮立體的圖形。

每一刀都把一些已有的塊切成兩份。和之前不同的是,我們的第 3 刀的切面經(jīng)過了 4 個(gè)已有的區(qū)域,把它們?nèi)家环譃槎?,得?8 塊蛋糕。事實(shí)上,要知道切面經(jīng)過了多少個(gè)區(qū)域,只需要把這個(gè)切面單獨(dú)拿出來看。我們發(fā)現(xiàn),蛋糕的切面實(shí)際上是一個(gè)圓餅。新的切面和已有的切面相交于若干條直線,這就相當(dāng)于在圓餅上切了若干刀。切第n刀時(shí)增加的塊數(shù)最多是餅n1 。

例如,如果我們?cè)诘案馍锨械?4 刀,可以這么切:

得到公式,在蛋糕上切n刀,得到的塊數(shù)最多為:

切曲奇

接下來研究帶洞的物體。曲奇上的洞可以看成是切了一刀,留下一個(gè)窄縫,但兩端沒有切斷。把其兩端切斷,那么塊數(shù)增加 2 塊,這和在圓餅切n+ 1刀的情況一樣,因此有曲奇n = 餅n+1 − 2 

切甜甜圈

   現(xiàn)在,我們做好準(zhǔn)備,可以解決文章開頭提出的問題。甜甜圈的本質(zhì)是挖了一個(gè)洞的蛋糕。從曲奇和圓餅的聯(lián)系可以猜測(cè),甜甜圈和蛋糕也有類似的聯(lián)系:甜甜圈n=蛋糕n+1−2,甜甜圈的洞可以看成蛋糕上切了一刀,但兩端沒有切斷。如果切斷的話,塊數(shù)會(huì)多出 2。按照公式,預(yù)測(cè)兩刀最多能把甜甜圈切6塊;三刀,就能切成13 塊;甜甜圈的切面可以是圓餅,曲奇或者兩個(gè)圓餅。


n= (n2 + n + 2)/2 ,曲奇n = (n2 + 3n)/2 ,兩餅n = (n2 + 3n + 4)/2 。切面是兩個(gè)圓餅時(shí),切面被分成的區(qū)域最多。因此,我們希望所有的切面都是兩個(gè)圓餅。此時(shí),總的塊數(shù)最多是:

 

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