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基本信息
- 項目名稱：
- 基于Gauss函數(shù)的小波變換像空間的性質(zhì)
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 本文主要對小波變換像空間的一些性質(zhì)進(jìn)行了研究。主要內(nèi)容為利用Gauss函數(shù)構(gòu)造了兩類更一般的連續(xù)小波，利用解析延拓的方法，把它們的像解析延拓到復(fù)空間，經(jīng)過復(fù)雜的計算得到這兩類小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式。再利用再生核的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對其像空間進(jìn)行了具體描述，建立了當(dāng)尺度因子固定時其像空間與已知再生核Hilbert空間范數(shù)的等距恒等式。
- 詳細(xì)介紹：
- 本文對小波變換像空間的一些性質(zhì)進(jìn)行了研究。主要利用Gauss函數(shù)構(gòu)造了兩類更一般的連續(xù)小波，并給出了這兩類小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式和固定尺度因子時相應(yīng)的像空間的等距恒等式。第一類連續(xù)小波由Gauss函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的線性組合構(gòu)成，其最典型的一個特例即為DOG小波函數(shù)的情況；而第二類連續(xù)小波利用Gauss函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過卷積構(gòu)成，其最典型的一個特例即為Gauss小波函數(shù)的情況，而且可以發(fā)現(xiàn)該小波變換像空間的再生核函數(shù)的偏導(dǎo)的次數(shù)與小波函數(shù)在構(gòu)造時的偏導(dǎo)的次數(shù)有關(guān)。對于這兩類小波變換，利用解析延拓的方法，把它們的像解析延拓到復(fù)空間，經(jīng)過復(fù)雜的計算得到這兩類小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式。再利用再生核的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對其像空間進(jìn)行了具體描述，建立了當(dāng)尺度因子固定時其像空間與已知再生核Hilbert空間范數(shù)的等距恒等式。根據(jù)再生核函數(shù)良好的結(jié)構(gòu)，利用較完善的再生核空間理論給出小波變換像空間的性質(zhì)，這為討論更一般的小波變換像空間性質(zhì)提供了新的方法并起到一定的指導(dǎo)作用。
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本文旨在基于Gauss函數(shù)給出兩種小波變換像空間的再生核函數(shù)的顯示表達(dá)式及等距恒等式的性質(zhì)，從再生核空間的理論角度來討論小波變換像空間的性質(zhì)，這對利用小波變換進(jìn)行信號處理起著至關(guān)重要的作用。 本文分別利用卷積運(yùn)算和線性組合得到兩類可允許小波，對于這兩類小波變換，利用解析延拓的方法，把它們的像解析延拓到復(fù)空間，經(jīng)過復(fù)雜的計算和論證得到這兩類小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 本文經(jīng)過復(fù)雜的科學(xué)論證，給出了兩種小波變換像空間的再生核函數(shù)的顯示表達(dá)式，以再生核的觀點(diǎn)來考慮函數(shù)經(jīng)小波變換后，其像空間的性質(zhì)，并給出了一些像空間與已知再生核空間的等距恒等式，并將已有結(jié)果進(jìn)行了很好的推廣。本文獨(dú)特之處是較好地將再生核空間理論與小波變換理論有機(jī)地相結(jié)合，得到了令人滿意的結(jié)果。此項研究結(jié)果不但達(dá)到了國際先進(jìn)水平，而且使小波理論和再生核空間理論得到了更深入的研究和廣泛的運(yùn)用。
應(yīng)用價值和現(xiàn)實(shí)意義
- 小波變換因其靈活的聚焦能力，如今已被廣泛的應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)中的信號處理、CT成像、圖像處理、模式識別等領(lǐng)域，因此，對于信號經(jīng)過小波變換后其像空間的研究就顯得較重要，具體給出了兩類像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式及相關(guān)性質(zhì)，不但為進(jìn)一步討論小波變換像空間打下了堅實(shí)的理論基礎(chǔ)，而且使得小波變換重建公式的數(shù)值計算得以實(shí)現(xiàn)，以及利用再生核函數(shù)描述小波變換像空間的性質(zhì)對信號的重建起著至關(guān)重要的作用。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本文對小波變換像空間的一些性質(zhì)進(jìn)行了研究。主要利用Gauss函數(shù)構(gòu)造了兩類更一般的連續(xù)小波，并給出了這兩類小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式和固定尺度因子時相應(yīng)的像空間的等距恒等式。第一類連續(xù)小波由Gauss函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的線性組合構(gòu)成，其最典型的一個特例即為DOG小波函數(shù)的情況；而第二類連續(xù)小波利用Gauss函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)經(jīng)過卷積構(gòu)成，其最典型的一個特例即為Gauss小波函數(shù)的情況，而且可以發(fā)現(xiàn)該小波變換像空間的再生核函數(shù)的偏導(dǎo)的次數(shù)與小波函數(shù)在構(gòu)造時的偏導(dǎo)的次數(shù)有關(guān)。對于這兩類小波變換，利用解析延拓的方法，把它們的像解析延拓到復(fù)空間，經(jīng)過復(fù)雜的計算得到這兩類小波變換像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式。再利用再生核的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對其像空間進(jìn)行了具體描述，建立了當(dāng)尺度因子固定時其像空間與已知再生核Hilbert空間范數(shù)的等距恒等式。根據(jù)再生核函數(shù)良好的結(jié)構(gòu)，利用較完善的再生核空間理論給出小波變換像空間的性質(zhì)，這為討論更一般的小波變換像空間性質(zhì)提供了新的方法并起到一定的指導(dǎo)作用。
獲獎情況
- 作品中的3.1節(jié)已發(fā)表在2010年IEEE小波分析與模式識別國際會議（Proceedings of 2010 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition）論文集上，題為《The Reproducing Kernel Hilbert Space Based on Wavelet Transform》，已被EI檢索（20104313328327），李帥同學(xué)并在會議上作了報告，此會于2010年7月11-14日在青島召開。
鑒定結(jié)果
- 同意
參考文獻(xiàn)
- [5] 杜微微, 鄧彩霞, 趙國良. Shannon小波像空間的描述[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報, 2003, 18(3): 127-130. [6] 杜微微, 鄧彩霞, 韓紅. Maar小波變換像空間的描述[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報, 2006, 22 (3): 31-33 [7] DENG CAI XIA, HAN HONG, DU WEI WEI. Characterizing of the Image Space of Wavelet Transform[J]. Proceedings of the 6th International Progress on Wavelet Analysis and Active Media Technology, 2005, (3): 1165-1171. [8] 韓紅, 鄧彩霞, 鄧中興. 改進(jìn)的Morlat小波變換像空間的描述[J]. 數(shù)學(xué)研究與評論, 2007, 27(4): 955-959. [9] 鄧彩霞, 曲玉玲, 侯杰. Gauss小波變換像空間的描述[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報, 2008, 52(2): 225-234. [10] DENG CAI XIA, FU ZUO XIAN, MA XIAO JIAN. The Properties of Gabor Wavelet Transform[J]. Proceedings of 2007 International Conference on Wavelet Analysis and Pattern Recognition, 2007, (4): 1504-1507. [13] DENG CAI XIA, QU YU LING, GU LI JUAN. Characterization of Image Space of a Wavelet Transform[J]. International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 2006, 4(3): 547-557.
同類課題研究水平概述
- 再生核理論及其應(yīng)用在得到不斷發(fā)展的同時，它與小波分析理論之間聯(lián)系的也是越來越密切。1992年，Daubechies在她的專著《Ten Lectures on Wavelets》中指出平方可積空間中的連續(xù)小波變換是線性變換，因而其像空間就是一個再生核空間，并且空間中的所有元素都可以通過再生核函數(shù)來表示。再生核空間是連續(xù)小波變換的基礎(chǔ)，再生核函數(shù)對連續(xù)小波變換的重建起著重要作用，如果小波變換無法重建，小波分析方法就成為了空談。因此利用連續(xù)小波變換像空間中的再生核函數(shù)來研究連續(xù)小波變換像空間的結(jié)構(gòu)和連續(xù)小波變換的重建就至關(guān)重要。目前，國內(nèi)利用再生核理論來討論小波變換的像空間的性質(zhì)已經(jīng)有了一些結(jié)果，鄧彩霞、杜微微對Shannon[5]，Marr[6]，Littlewood –Paley[7]等小波變換像空間進(jìn)行了描述；韓紅、鄧彩霞、鄧中興對改進(jìn)的Morlat小波變換像空間進(jìn)行了描述[8]；鄧彩霞、曲玉玲、候杰、付作嫻等人對Gauss[9]，Gabor[10，11]和Journe[12，13]等小波變換像空間作了比較深入的研究。以上結(jié)果都是針對常用的典型小波函數(shù)考慮其小波變換像空間的性質(zhì)，國外還未見到其它相關(guān)的研究成果。而本文分別利用卷積運(yùn)算和線性組合得到的可允許小波更具有靈活性，對該小波變換像空間性質(zhì)的研究，更具有普遍的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價值，而且對文獻(xiàn)[9]中典型的Gauss小波變換像空間的描述進(jìn)行了推廣, 本文的研究結(jié)果是目前國內(nèi)外在小波變換像空間描述的相關(guān)研究工作中所獲得的最令人滿意的結(jié)果，這不但為進(jìn)一步描述更一般的連續(xù)小波變換像空間提供了有效的方法，而且利用像空間的再生核函數(shù)的解析表達(dá)式使得小波變換重建公式的數(shù)值計算得以實(shí)現(xiàn)，充分體現(xiàn)了再生核函數(shù)具有良好的計算性質(zhì)，以及利用再生核函數(shù)描述小波變換像空間的性質(zhì)對信號的重建起著至關(guān)重要的作用。
