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基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 加邊三對(duì)角線性方程組解法的研究
- 來(lái)源：
- 第十二屆“挑戰(zhàn)杯”省賽作品
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡(jiǎn)介：
- 為了求解形如（1）（見(jiàn)附加材料公式（1））的加邊三對(duì)角線性方程組，本文基于LU分解思想，將追趕法的思想進(jìn)一步推廣，將系數(shù)矩陣分解成四個(gè)矩陣（見(jiàn)附加材料公式（2）），從而將原方程組轉(zhuǎn)化為四個(gè)線性方程組方程組（見(jiàn)附加材料公式（3）），進(jìn)而求解這四個(gè)方程組便可得到原方程組的解。該方法中乘（除）法與加（減）法運(yùn)算量?jī)H為O(11n)和O(8n)。而且數(shù)值穩(wěn)定性分析結(jié)果表明，該算法是穩(wěn)定的。
- 詳細(xì)介紹：
- 在偏微分方程求解及許多科學(xué)與工程計(jì)算中常常會(huì)遇到求解形如（1）（見(jiàn)附加材料公式（1））所示的加邊三對(duì)角線性方程組，本文將追趕法的思想進(jìn)一步推廣，于是將系數(shù)矩陣進(jìn)一步分解成四個(gè)矩陣（見(jiàn)附加材料中公式（2）），進(jìn)而將求解原方程組轉(zhuǎn)化為求解四個(gè)簡(jiǎn)單的線性方程組（見(jiàn)附加材料公式（3））， 依次求解這四個(gè)方程，便可將原方程組解出，進(jìn)而統(tǒng)計(jì)其算術(shù)運(yùn)算量，并與相同或相近問(wèn)題的解決進(jìn)行分析比較，最后數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行編程加以驗(yàn)證，并且經(jīng)過(guò)驗(yàn)證在系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)的條件下，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析結(jié)果十分吻合 。
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 目的：將追趕法的思想推廣到求解加邊三對(duì)角線性方程組中，提出一種算術(shù)運(yùn)算量?jī)H為O（19n）新解法，以更好解決工程計(jì)算中加邊三對(duì)角線性方程組問(wèn)題?；舅悸罚?.將追趕法思想作為求解加邊三對(duì)角線性方程組的基本思想。2.將LU分解和追趕法思想推廣，首先進(jìn)行算法推導(dǎo)，包括矩陣分解和方程組求解過(guò)程，后進(jìn)行算法分析和比較，包括數(shù)值穩(wěn)定性和算法復(fù)雜度分析，最后進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證數(shù)值的穩(wěn)定性和算法的準(zhǔn)確性分析。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 1.本文是對(duì)追趕法思想的補(bǔ)充和應(yīng)用，具有很好的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。2.本研究將系數(shù)矩陣分解成四個(gè)簡(jiǎn)單矩陣的乘積，進(jìn)而將原方程組轉(zhuǎn)化為四個(gè)簡(jiǎn)單方程組，計(jì)算復(fù)雜度大大降低。3.算法的算術(shù)運(yùn)算量與方程組的階n呈線性關(guān)系，我們僅用了O（19n）算術(shù)運(yùn)算量，在算術(shù)運(yùn)算量上也是一個(gè)突破。4.最終數(shù)值實(shí)驗(yàn)可以對(duì)百萬(wàn)至千萬(wàn)階的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)的加邊三對(duì)角線性方程組賦初值，運(yùn)行結(jié)果誤差較小。
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 1.在求解數(shù)學(xué)模型時(shí)，往往需要選著合適的計(jì)算方法。但是無(wú)論是何種計(jì)算方法，最終都是將現(xiàn)實(shí)生活中的復(fù)雜問(wèn)題全部的或者部分的歸結(jié)為線性方程組的求解問(wèn)題。因此對(duì)在計(jì)算流體力學(xué)，氣象動(dòng)力學(xué)和跳點(diǎn)網(wǎng)格系統(tǒng)等眾領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的形如公式（1）（見(jiàn)附加材料（1））的研究自然是十分必要和有意義的。 2。將追趕法的思想加以推廣研究，為以后更好的解決科學(xué)與工程計(jì)算問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本文仿照追趕法的思想，給出了一種求解加邊三對(duì)角線性方程組的追趕算法。該算法首先將系數(shù)矩陣分解成四個(gè)矩陣，進(jìn)而將求解加邊三對(duì)角線性方程組的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解四個(gè)簡(jiǎn)單的方程組。該方法能夠快速穩(wěn)定的求解加邊三對(duì)角線性方程組，且乘（除）法與加（減）法運(yùn)算量?jī)H為O(11n)和O(8n)。本算法的數(shù)值穩(wěn)定性分析結(jié)果表明，系數(shù)矩陣在滿足嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的條件下，該算法是穩(wěn)定的。
獲獎(jiǎng)情況
- 無(wú)
鑒定結(jié)果
- 無(wú)
參考文獻(xiàn)
- [1] 馮康等：數(shù)值計(jì)算方法［M］,國(guó)防工業(yè)出版社，1978. [2] 馬明書(shū)，姚慧：拋物型方程的一組高精度恒穩(wěn)定的隱式差分格式［J］，河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)學(xué)報(bào)），2001（2）：6-8. [3] 朱自強(qiáng)，李津，張正科，陳澤民，吳子牛，李海明：計(jì)算流體力學(xué)中網(wǎng)格生成方法及其應(yīng)用，航空學(xué)報(bào)，1998（2）：25-31. [4] 張靜，王福軍，于穎多，劉洋：基于ＭＰＩ三對(duì)角方程組的并行算法，農(nóng)機(jī)化研究，2005，（4）：81-83. [5] 王興波，鐘志華：求解周期性三對(duì)角方程組的廣義Thomas算法[J]，計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2004,21（1）：73-76. [6] 李文強(qiáng)，劉曉：追趕法在求解循環(huán)和擬循環(huán)三對(duì)角方程組中的一種推廣，河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2009,37（1）：13-16. [7] 李文強(qiáng)，劉曉：追趕法并行求解循環(huán)三對(duì)角方程組[J]科技導(dǎo)報(bào)，2009，(18):90-93. [8] 李文強(qiáng)，馬民：求解循環(huán)三對(duì)角方程組的追趕法[J]科技導(dǎo)報(bào)，2009，（14）:69-72. [9] 李青，王能超：解循環(huán)三對(duì)角線性方程組的追趕法［J］，小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2002,23（11）：1393-1395. [10] Temperton C.A algorithm for solution of cyclic tridiagonal systems[J]. Comput Physics, 1975, 19(2):317-323.
同類課題研究水平概述
- 在偏微分方程求解及許多科學(xué)與工程計(jì)算中常常會(huì)遇到求解三對(duì)角、循環(huán)三對(duì)角、循環(huán)Toeplitz三對(duì)角、擬三對(duì)角線性方程組。1997年，Jung-Gen Wu,Wen-Ming Yan 和Kuo-Liang Chung討論了循環(huán)Toeplitz三對(duì)角線性方程組的并行解法；遲利華對(duì)于循環(huán)三對(duì)角線性方程組提出了一種近似實(shí)用解法，在一定條件下將求解循環(huán)三對(duì)角線性方程組的算術(shù)運(yùn)算量從O（17n）下降到O（8n），所得到的解與精確解的誤差達(dá)到計(jì)算機(jī)機(jī)器零；近年來(lái)，遲利華、駱志剛、李曉梅等對(duì)三對(duì)角線性方程組的分布式計(jì)算進(jìn)行了深入研究，得到了通信復(fù)雜度極小的并行算法；李文強(qiáng)將追趕法的思想推廣到求解循環(huán)三對(duì)角線性方程組中，得到了一種算術(shù)運(yùn)算量?jī)H為O（14n）的算法；李青和王能超基于LU分解的思想對(duì)擬三對(duì)角線性方程組進(jìn)行求解，得到算術(shù)運(yùn)算量為O（17n）的一種算法。對(duì)于本文研究的形如（1）（見(jiàn)附件公式（1））的加邊三對(duì)角線性方程組，最近，我們小組把LU分解的思想和追趕法的思想進(jìn)一步推廣到求解加邊三對(duì)角線性方程中，得到一種乘（除）法為O（11n），加（減）法為O（8n）的算法，并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析完全吻合。
