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基本信息
- 項(xiàng)目名稱(chēng)：
- 一類(lèi)粘性雙組份淺水波方程的整體吸引子
- 來(lái)源：
- 第十二屆“挑戰(zhàn)杯”省賽作品
- 小類(lèi)：
- 數(shù)理
- 大類(lèi)：
- 自然科學(xué)類(lèi)學(xué)術(shù)論文
- 簡(jiǎn)介：
- 本作品考慮周期邊界條件下帶粘性項(xiàng)的雙組份Camassa-Holm方程、粘性耦合Camassa-Holm方程及耦合非齊次Camassa-Holm方程的整體解、吸收集和吸引子存在性問(wèn)題。運(yùn)用Galerkin方法得到了粘性雙組份Camassa-Holm方程的唯一整體解；利用Sobolev插值不等式以及關(guān)于時(shí)間的先驗(yàn)估計(jì)證明了該方程吸收集存在性；證明方程的解半群是一個(gè)緊算子；得到了方程整體吸引子的存在性。
- 詳細(xì)介紹：
- 本作品研究幾類(lèi)雙組份色散淺水波方程：雙組份Camassa-Holm方程、新型耦合雙組份Camassa-Holm方程、耦合非齊次Camassa-Holm方程等的整體吸引子問(wèn)題。這幾類(lèi)方程是當(dāng)前國(guó)際上非線性水波研究的熱點(diǎn)。通過(guò)研究方程的整體吸引子的存在性和漸近光滑性揭示 時(shí)解的性態(tài)問(wèn)題。取得的成果對(duì)逐步揭示由非線性淺水波方程所刻畫(huà)的非線性現(xiàn)象發(fā)生機(jī)理和內(nèi)在規(guī)律有重要意義，將豐富淺水波方程理論。有關(guān)研究工作將填補(bǔ)這一新領(lǐng)域的空白，研究工作水平處于國(guó)際前沿。 研究粘性雙組份的CH 方程和粘性新耦合的雙組份CH 方程整體解、吸收集及吸引子的存在性，首先要證明初邊值問(wèn)題解的存在性，擬采用Galekin方法來(lái)逼近非線性方程，利用正交投影將原來(lái)的偏微分方程化成一個(gè)常微分方程組的邊值問(wèn)題，通過(guò)做內(nèi)積、運(yùn)用Sobolev插值不等式、Gronwall不等式、Young不等式、Poincaré不等式得到兩個(gè)變量的一致先驗(yàn)估計(jì)，得到它們本身及各階范數(shù)有界，即短時(shí)間區(qū)域上有唯一解。在得到原方程的近似解之后再說(shuō)明該近似解收斂于原方程的解。然后證明在T趨于無(wú)窮時(shí)解仍然是有界的，并存在吸收集，最后利用等度連續(xù)、緊嵌入定理、AscoliArzela定理及偏微分方程的知識(shí)得到整體吸引子的存在性。
作品專(zhuān)業(yè)信息
撰寫(xiě)目的和基本思路
- 關(guān)于淺水波方程相關(guān)性質(zhì)的研究是目前國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)物理界關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。討論淺水波方程解的相關(guān)性質(zhì)（特別是方程的Cauchy問(wèn)題的局部適定性、解的整體存在性及爆破現(xiàn)象，穩(wěn)定性、散射與反散射問(wèn)題、Riemman問(wèn)題、動(dòng)力學(xué)行為）并揭示波的傳播規(guī)律，在準(zhǔn)確解釋自然現(xiàn)象、確定物理材料屬性等方面均具有極大的應(yīng)用價(jià)值。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 本作品給出帶粘性項(xiàng)的雙組份CH方程和耦合雙組份Camassa-Holm方程在周期初邊值問(wèn)題下吸引子的存在性，將原來(lái)一個(gè)變量的研究推廣至兩個(gè)變量的研究，難度增加了。將此偏微分方程化成一個(gè)常微分系統(tǒng)，利用常微分方程組的存在理論來(lái)研究解的整體存在性。得到 空間上兩個(gè)變量關(guān)于時(shí)間的一致先驗(yàn)估計(jì)，得到兩個(gè)變量及其各階范數(shù)有界，并找到吸收集，進(jìn)而得到其整體吸引子的存在性。本作品的研究將是新的嘗試。
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 研究非線性色散波方程的極限行為，有助于弄清不同波方程之間潛在的相互聯(lián)系，為研究一般度量下散射理論的建立及孤立子存在問(wèn)題提供了新的研究途徑。有關(guān)研究成果的理論可以應(yīng)用于與非線性色散波方程相關(guān)的問(wèn)題中，如等離子體物理、凝聚態(tài)物理、光孤子通訊、流體等。豐富了現(xiàn)有的研究成果，有助于人們更好地認(rèn)識(shí)這些方程所刻畫(huà)的物理現(xiàn)象和該方程潛在的應(yīng)用價(jià)值。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本作品主要考慮在周期邊界條件下帶粘性項(xiàng)的雙組份Camassa-Holm方程、粘性耦合Camassa-Holm方程及耦合非齊次Camassa-Holm方程的整體解、吸收集和吸引子存在性問(wèn)題． 本作品主要采用Galerkin方法, 所討論的方程均含有兩個(gè)變量. 在考慮解半群的吸引子存在性的過(guò)程中，我們要同時(shí)對(duì)這兩個(gè)變量進(jìn)行考察. 需要使用索伯列夫空間理論、偏微分方程相關(guān)知識(shí)、Fourier限制范數(shù)和算子、雙線性估計(jì)、能量方程與正交分解相結(jié)合等相關(guān)理論、方法和技巧． 第一章介紹研究背景、現(xiàn)狀及本文主要工作． 第二章介紹了研究過(guò)程中需要的基本理論，基本概念等． 第三章首先運(yùn)用Galerkin方法得到了粘性雙組份Camassa-Holm方程的唯一整體解存在于 中；接著利用Sobolev插值不等式以及關(guān)于時(shí)間 的先驗(yàn)估計(jì)證明了該方程在 空間上吸收集的存在性；然后證明方程的解半群 是一個(gè)緊算子；最后得到了雙組份Camassa-Holm方程整體吸引子的存在性． 第四、五章分別研究了粘性耦合Camassa-Holm方程、耦合非齊次Camassa-Holm方程的吸引子的存在性．
獲獎(jiǎng)情況
- 無(wú)
鑒定結(jié)果
- 無(wú)
參考文獻(xiàn)
- [1] Ming Chen, Siqi Liu, Youjin Zhang. Lett. Math. Phys. 2006(75): 1-15 [2] Lixin Tian, Ying. Gao. Nolinear Anal. 2009 (11)：5176-5186 [3] Lixin Tian, Ruihua Tian, Jinling Fan. International Journal of Nonlinear Science. 2008 (1): 3-10 [4] Danping Ding, Lixin Tian. 2004 (27): 536-545 [5] Wenxia Chen, Lixin Tian, Xiaoyan Deng. Nonlinear Anal: Real Word Appl. 2009 (3):1822-1837 [6] A. Constantin, R. Ivanov. 2008(372): 7129-7132 [7] Boling Guo, Linge Yang. Math Mech Appl Sci. 1994(19):131-144 [8] Jingjing Liu, Zhaoyang Yin. Journal of Mathematical Analysis and Applications. doi:10.1016/j.jmaa.2010.09.059 [9] Lixin Tian, Chunyu Shen, Nonlinear Anal. RWA. 2009 (10): 519-530 [10] J. Escher, O. Lechtenfeld, Zhaoyang Yin. Discrete Contin. Dyn. Syst. 2007(19): 495-513
同類(lèi)課題研究水平概述
- 關(guān)于雙組份CH方程的相關(guān)研究工作已經(jīng)出現(xiàn)不少：屈長(zhǎng)征、尹朝陽(yáng)、張平正等分別研究過(guò)雙組份的CH方程的局部適定性，解的整體存在性和爆破現(xiàn)象，給出方程強(qiáng)解的爆破結(jié)果。Popowicza等研究雙組份的及超對(duì)稱(chēng)的雙組份CH方程。Keivan Mohajer指出雙組份CH方程的行波解的光滑方程由CH方程行波解提供的集合分布，它是一個(gè)零測(cè)量，從而研究得出雙組份CH方程有不同于CH方程的光滑行波解且當(dāng)測(cè)量 不為零時(shí)還有新的分布解；關(guān)于雙組份CH方程的孤波、扭波和反扭波解、無(wú)窮碎波解、光滑和非光滑周期波解的存在性在不同的參數(shù)條件和不同的必要條件下已得到討論，并給出了行波解的準(zhǔn)確明了的參數(shù)表現(xiàn)形式。目前，關(guān)于雙組份CH方程的散射反散射問(wèn)題，初邊值問(wèn)題，Cauchy問(wèn)題的低正則解，Riemman問(wèn)題，高階雙組份CH方程的Cauchy問(wèn)題的適定性，以及加耗散項(xiàng)的雙組份CH方程的整體吸引子，慣性集方面的問(wèn)題有待解決。 關(guān)于新型耦合雙組份CH方程，目前已經(jīng)得到其局部適定性及爆破解，給出在有限時(shí)間內(nèi)存在具有奇異性的強(qiáng)解的條件，證明了局部弱解的存在性，但關(guān)于它的Cauchy 問(wèn)題、散射反散射問(wèn)題、長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)行為以及整體吸引子、慣性集方面的問(wèn)題有待解決。本作品將對(duì)其作出新的嘗試。 另外，田立新等探究了弱阻尼Korteweg-de Vries方程，給出了低模態(tài)下該方程近似慣性流形的約化形式，并作了數(shù)值分析，有關(guān)數(shù)值分析結(jié)果與非線性譜分析結(jié)果類(lèi)似；2002年，Olivier Goubet和Ricardo M.S. Rosa研究了弱阻尼Korteweg-de Vries方程，在實(shí)直線上得到了該方程的漸近光滑的整體吸引子； 06年丁丹平和田立新研究了Camassa-Holm方程的動(dòng)力學(xué)行為，證明了色散Camassa-Holm方程整體解的存在性，并得到了在 空間上其解半群整體吸引子的存在性；07年，田立新等人研究了帶粘性項(xiàng)的類(lèi)方程、證明了在 上一維粘性受迫弱阻尼 Korteweg-de Vries方程的整體吸引子的存在性；后來(lái)還研究了受迫弱阻尼MKdV方程的整體吸引子問(wèn)題、粘性阻尼受迫Ostrovsky方程的整體吸引子、周期邊界條件下帶粘性項(xiàng)的Fornberg-Whitham方程和一類(lèi)粘性色散波方程的整體解和整體吸引子存在性問(wèn)題。
