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基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 零點(diǎn)狀態(tài)函數(shù)與極限環(huán)
- 來(lái)源：
- 第十二屆“挑戰(zhàn)杯”省賽作品
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡(jiǎn)介：
- 該論文主要講述的是通過(guò)研究特定二次系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定二次系統(tǒng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)的方法。
- 詳細(xì)介紹：
- 我們知道二次系統(tǒng)中極限環(huán)的研究和函數(shù)零點(diǎn)研究方法類似。在本論文中，我們考慮Lienard方程 , ，給出方程的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)并且研究其零點(diǎn)。最后，我們得到這個(gè)函數(shù)的極限環(huán)的存在唯一性。
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 著名數(shù)學(xué)家D.Hilbert于1900年在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了二十三個(gè)數(shù)學(xué)難題，其中第十六個(gè)問(wèn)題就是n次系統(tǒng)最多有幾個(gè)極限環(huán)以及它們的相對(duì)位置，能否計(jì)算出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界。20世紀(jì)80年代史松齡和陳蘭蓀舉出了平面二次系統(tǒng)至少存在四個(gè)極限環(huán)的例子，破除了平面二次系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界是3的傳統(tǒng)猜測(cè),本文找到了一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，可以通過(guò)判斷狀態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定2次系統(tǒng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 本文給出了一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，可以通過(guò)判斷狀態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定2次系統(tǒng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)。傳統(tǒng)的證明極限環(huán)的證明都使用Poincaré-Bendixson環(huán)域定理.討論極限環(huán)的存在性問(wèn)題關(guān)鍵就是要在平面上做出環(huán)域的內(nèi)外境界線，使得在境遇線上系統(tǒng)的向量場(chǎng)，當(dāng)時(shí)間參數(shù)增加時(shí)，都由環(huán)域的外（內(nèi)）部指向內(nèi)（外）部，并且在環(huán)域中無(wú)奇點(diǎn)。但是內(nèi)外境界線很難做。本文方法具有首創(chuàng)性，而且簡(jiǎn)單實(shí)用。
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 傳統(tǒng)的證明極限環(huán)的證明都使用Poincaré-Bendixson環(huán)域定理.討論極限環(huán)的存在性問(wèn)題關(guān)鍵就是要在平面上做出環(huán)域的內(nèi)外境界線，但是內(nèi)外境界線很難做。本文給出了一個(gè)狀態(tài)函數(shù)，可以通過(guò)判斷狀態(tài)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定2次系統(tǒng)極限環(huán)的個(gè)數(shù)。本文把極限環(huán)的判斷問(wèn)題化成求解方程F（x）=0根的問(wèn)題，這樣我們就可以用數(shù)值計(jì)算的方法研究極限環(huán)了，開辟了極限環(huán)研究的新方法
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本論文中討論了二次系統(tǒng)，給出方程的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)并且研究其零點(diǎn)。二次系統(tǒng)中極限環(huán)的研究方法和函數(shù)零點(diǎn)研究方法具有相似性。例如，龐加萊-本迪克松的環(huán)域類似于問(wèn)題：如果連續(xù)函數(shù)Φ (x)滿足在區(qū)間[a,b]上變號(hào)，一定存在零點(diǎn)，二次系統(tǒng)中極限環(huán)的研究方法和函數(shù)零點(diǎn)研究方法具有相似性。本文給出了用函數(shù)的方法解決部分特殊的二次系統(tǒng)的極限環(huán)的問(wèn)題
獲獎(jiǎng)情況
- 大連理工大學(xué)第八屆攀登杯一等獎(jiǎng) 遼寧省挑戰(zhàn)杯二等獎(jiǎng)
鑒定結(jié)果
- 遼寧省挑戰(zhàn)杯二等獎(jiǎng)
參考文獻(xiàn)
- [1] 葉彥謙 , 《極限環(huán)論》 (第二版)， 上?？萍汲霭嫔?，1984. [2] 張芷芬, 《微分方程定性理論》, 北京大學(xué)，1979. [3] 張錦炎, 《幾何理論與常微分方程分支問(wèn)題》，北京大學(xué)，1981. [4]陳秀東, Lienard方程極限環(huán)存在性定理, 《數(shù)學(xué)研究與評(píng)論》，1992,2（4）
同類課題研究水平概述
- 本文給出的方法在研究極限環(huán)的存在性和個(gè)數(shù)上有創(chuàng)新意義，國(guó)內(nèi)外還沒(méi)有其他的學(xué)者使用這個(gè)方法，本方法如果和數(shù)值代數(shù)結(jié)合，可以對(duì)極限環(huán)的判斷和二次系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的確定有重大的價(jià)值。
