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基本信息
- 項目名稱：
- 兩類正項數(shù)列的研究
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 階乘是數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、及組合數(shù)學(xué)等都有重要的應(yīng)用。目前,學(xué)者們在n!與n的冪指之間的關(guān)系方面展不斷地加深展開研究，此問題對n!較準(zhǔn)確估計在數(shù)值計算及對解決有關(guān)n階乘數(shù)列極限問題大有用途,對此本文改進和推廣了現(xiàn)有的文[7]-[15]的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題. 單調(diào)有界原理是證明數(shù)列極限存在的重要工具.涉及a(n)的1/n次方正項數(shù)列的單調(diào)有界性的文獻較多.本文就此給出a(n)的1/n次正項數(shù)列單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣,并改進和推廣了現(xiàn)有的文[16]-[21]的相關(guān)結(jié)論.
- 詳細介紹：
- 階乘是數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、及組合數(shù)學(xué)等都有重要的應(yīng)用。目前,學(xué)者們在n!與n的冪指之間的關(guān)系方面展不斷地加深展開研究，此問題對n!較準(zhǔn)確估計在數(shù)值計算及對解決有關(guān)n階乘數(shù)列極限問題大有用途,對此,本文得到了n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,得到了Stirling公式的一個變換形式,之后對其參數(shù)進行了討論,得到了其參數(shù)的單調(diào)性和估計式,改進和推廣了現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題. 單調(diào)有界原理是證明數(shù)列極限存在的重要工具.在涉及a(n)的1/n次方正項數(shù)列的單調(diào)有界性的文獻較多.本文就此給出其單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣.
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作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本文首先給出了一系列新的n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,得到了Stirling公式的一個新變換形式,之后對其參數(shù)的估計式進行了討論,改進和推廣了文[7]-[15]的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題.另外,本文還研究了一類正項數(shù)列.給出其單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣,并改進和推廣了文[16]-[21]的相關(guān)結(jié)論.
科學(xué)性、先進性及獨特之處
- 本文給出了一系列新的n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式及Stirling公式的一個新變換形式,改進和推廣了文[7]-[15]的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題.另外,本文還給出一類a(n)的1/n次方正項數(shù)列單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣,并改進和推廣了文[16]-[21]的相關(guān)結(jié)論.
應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義
- 階乘是數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、及組合數(shù)學(xué)等都有重要的應(yīng)用,本文給出了一些新的階乘不等式,在實際應(yīng)用計算中對n!較準(zhǔn)確的估計,在實際應(yīng)用中簡單解決較繁難的有關(guān)n階乘數(shù)列極限問題,免除特別心思構(gòu)想而單調(diào)有界原理是證明數(shù)列極限存在的重要工具。本文又研究了一類a(n)的1/n次方正項數(shù)列的單調(diào)有界性,利用其性質(zhì)并能簡單解決涉及此類的實際問題。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 本文研究了兩類正項數(shù)列:n！和a(n)的1/n次方數(shù)列.對于第一個數(shù)列,本文得到了n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,得到了Stirling公式的一個變換形式,之后對其參數(shù)進行了討論,得到了參數(shù)的單調(diào)性和估計式，改進和推廣了現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)論,并利用n!與n的冪指關(guān)系式求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題.對于第二類數(shù)列，本文給出其單調(diào)有界性的判定定理,得到了Minc-Sathre不等式及其推廣.
獲獎情況
- 本校學(xué)報(自然科學(xué)版)編輯部已審核同意2009年第三期發(fā)表。作品榮獲校級挑戰(zhàn)杯課外學(xué)術(shù)科技作品競賽一等獎。
鑒定結(jié)果
- 作品創(chuàng)作情況屬實，同意推薦！ 校專家評審意見:該文寫作規(guī)范，證明正確，有一定的科學(xué)價值。建議給予一等獎勵。
參考文獻
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同類課題研究水平概述
- 著名的Stirling公式[1-2]:(1)但(1)式證明比較復(fù)雜且其參數(shù)沒有顯式表達式.由(1)式我們還可得到:(2).事實上,(2)式本身也可給出一個獨立的簡單證明[3]且其得到的時間比(1)式早.目前,學(xué)者們在n!與n的冪指之間的關(guān)系方面展開的研究得到了較好的結(jié)果.1928年,Knopp[4]利用Euler-Maclaurin公式,得到如下估計式:(3)、(4).其中B(2j)為Bernoulli數(shù).1997年,徐利治教授等[5]建立了一個等式:(5),并于1999年在(5)式的基礎(chǔ)上得到不等式[6]:(6),其中常數(shù)0.5是最佳的.2005年趙岳清[7]改進了(6)式,得到當(dāng)n>=1時,有(7),其中常數(shù)293/720是最佳的. 本文在以上學(xué)者工作的基礎(chǔ)上給出一系列新的n!與n的冪指之間的關(guān)系不等式,并得到如下公式:(8).其中(8)中的參數(shù)關(guān)于n嚴(yán)格單調(diào)下降,并成立下面的估計式:設(shè)N是滿足B的正整數(shù),常數(shù)a滿足0<a<B,則當(dāng)n>=N時,有(9).(9)式也是(7)式的一個改進和推廣. 對于Stirling公式(1)中的參數(shù),有很多學(xué)者進行了討論和研究.1955年,Robbins[8]給出(10).1990年,曹景天[9]利用一種級數(shù)求和的方法將(10)加細為(11).1991年,仲崇新[10]又將(11)改進為(12).1997年,彭求實[11-12]應(yīng)用級數(shù)理論改進(10)至(12)中參數(shù)的上界,得到(13). 本文在上面工作的基礎(chǔ)上得到:當(dāng)n>=1時,(1)中的參數(shù)嚴(yán)格單調(diào)上升,滿足不等式(14)且有精確式表達式(15).另外,本文得到的n!與n的冪指之間的一些關(guān)系不等式也是文[14]-[15]中的有關(guān)結(jié)論的推廣.最后我們利用它們求解了若干有關(guān)n階乘的數(shù)列極限問題. 著名的Minc-sathre不等式[16-21]:(16).文[19-20]給出(17).文[21]又將(16)式和(17)進行了推廣:若a(n)是等差數(shù)列,首項為a(1),公差為d,且a(1)>d>0,則成立(18),(19). 本文在此基礎(chǔ)上給出了一系列a(n)的1/n次方正項數(shù)列的單調(diào)性的判定定理.我們將前述文[21]的結(jié)論改進和推廣,這一結(jié)論視為為文[16]-[21]中相關(guān)結(jié)論的推廣.
