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基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 權(quán)為的x2Legendre正交多項(xiàng)式的研究與應(yīng)用
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡介：
- 本文提出一類新的以x2為權(quán)的Legendre正交多項(xiàng)式，并應(yīng)用生成函數(shù)法嚴(yán)格證明該多項(xiàng)式的正交性，且給出該多項(xiàng)式明確的模值及其遞推關(guān)系、微分關(guān)系和積分關(guān)系等相關(guān)性質(zhì)，以此作為一類以x2m為權(quán)的正交多項(xiàng)式的研究基礎(chǔ)。進(jìn)一步，本研究小組從圖像正交矩理論出發(fā)，首次提出一類基于權(quán)為x2的Legendre多項(xiàng)式的交錯正交矩，并通過重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，說明該交錯矩具有很好的圖像特征表達(dá)能力。
- 詳細(xì)介紹：
- 經(jīng)典正交多項(xiàng)式的研究大多由19世紀(jì)的Jacobi，Hermite，Laguerre等歐洲數(shù)學(xué)家所提出。該多項(xiàng)式具有確定的物理含義、簡潔的解析表達(dá)以及廣泛的工程應(yīng)用，自問世以來一直得到數(shù)學(xué)、物理以及工程等領(lǐng)域的關(guān)注。 正交多項(xiàng)式之所以受到廣泛關(guān)注，不僅因?yàn)樗哂械臄?shù)學(xué)價值，如連分式、歐拉系列、橢圓函數(shù)、量子代數(shù)等，更重要的是它和物理、工程應(yīng)用等有很深的聯(lián)系，典型應(yīng)用是圖像處理和模式識別技術(shù)，如以正交多項(xiàng)式為核函數(shù)的圖像正交矩與不變特征量等。因此，研究正交多項(xiàng)式的表達(dá)與性質(zhì)具有重要的理論與工程應(yīng)用價值。 目前經(jīng)典正交多項(xiàng)式的研究多集中在國外，但近些年對其他類別的經(jīng)典正交多項(xiàng)式的解析表達(dá)及其性質(zhì)的研究并沒有實(shí)質(zhì)性的突破，不僅國外對該領(lǐng)域的報(bào)道罕見，國內(nèi)其研究成果更是鮮見報(bào)道。國內(nèi)相關(guān)領(lǐng)域?qū)ζ浣馕霰磉_(dá)的研究更是鮮見報(bào)道。雖通過Christoffel定理和Schmidt定理，可構(gòu)造任意權(quán)的正交多項(xiàng)式，但卻無法得到其解析式，且隨著權(quán)函數(shù)與多項(xiàng)式階數(shù)的增大，構(gòu)造新正交多項(xiàng)式的難度也隨之增大。這是目前研究經(jīng)典正交多項(xiàng)式解析表達(dá)的難點(diǎn)。 本研究小組研究的以x2為權(quán)的Legendre多項(xiàng)式不屬于已有經(jīng)典多項(xiàng)式（如Jacobi多項(xiàng)式等）的范疇。對于該多項(xiàng)式的研究目的有二： A. 本文探討的x2權(quán)的Legendre多項(xiàng)式目的在于為研究一類以x2m為權(quán)的Legendre正交多項(xiàng)式提供初步的技術(shù)探索，而該研究方向的最終目標(biāo)是探求一類正交多項(xiàng)式解析表達(dá)的一般性原則。 B．作為圖像正交矩的構(gòu)建基礎(chǔ)，研究小組希望從此類多項(xiàng)式出發(fā)，尋找具有更好特征表達(dá)能力的圖像正交矩。 鑒于以上研究目標(biāo)，研究小組從經(jīng)典正交多項(xiàng)式的基本原理和特性出發(fā)，提出一套權(quán)為x2的Legendre多項(xiàng)式的解析表達(dá)，并通過生成函數(shù)法求取其模值，嚴(yán)格證明該多項(xiàng)式的正交性及其相關(guān)性質(zhì)如遞推關(guān)系，微分關(guān)系和積分關(guān)系等。最后研究小組給出一組基于該正交多項(xiàng)式的正交矩并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 本小組研究了一類以x2為權(quán)的Legendre正交多項(xiàng)式，提出其模值，并通過生成函數(shù)法嚴(yán)格證明了其正交性與其他一些相關(guān)性質(zhì)，以此作為一類權(quán)為x2m 的Legendre正交多項(xiàng)式的研究基礎(chǔ)。本研究小組還進(jìn)一步提出基于權(quán)為x2的Legendre正交多項(xiàng)式的交錯正交矩，設(shè)計(jì)出一個重構(gòu)實(shí)驗(yàn),通過對比該交錯正交矩與Zernike矩在圖像重構(gòu)上的誤差值，表明該交錯正交矩具有很好的圖像特征表達(dá)能力。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 研究小組以經(jīng)典正交理論為基礎(chǔ)，以生成函數(shù)法為手段，研究了權(quán)為x2的Legendre正交多項(xiàng)式及其模值的解析表達(dá)和其他相關(guān)性質(zhì)；進(jìn)一步，作品從圖像正交矩理論出發(fā)，首次提出一類基于權(quán)為x2的Legendre多項(xiàng)式的交錯正交矩，并通過重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，說明該交錯矩具有很好的圖像特征表達(dá)能力。以研究小組目前掌握的資料來看，本作品所有研究成果目前未見報(bào)道，屬首次提出。
應(yīng)用價值和現(xiàn)實(shí)意義
- A．本文探討的x2權(quán)的Legendre多項(xiàng)式目的在于為研究一類以為x2m權(quán)的Legendre正交多項(xiàng)式提供初步的技術(shù)探索，而該研究方向的最終目標(biāo)是探求一類正交多項(xiàng)式解析表達(dá)的一般性原則。 B．本研究小組所提出的交錯正交矩在圖像處理上具有顯著優(yōu)勢。此外，該多項(xiàng)式作為圖像正交矩構(gòu)建的基礎(chǔ)，研究小組希望從此類多項(xiàng)式出發(fā)，尋找具有更好特征表達(dá)能力的圖像正交矩。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 經(jīng)典正交多項(xiàng)式涉及數(shù)學(xué)、物理等諸多應(yīng)用，典型應(yīng)用是圖像處理和邊緣模式識別技術(shù)。但近些年來，對經(jīng)典正交多項(xiàng)式的研究并沒有取得新進(jìn)展。本文提出一類新的以x2為權(quán)的Legendre正交多項(xiàng)式，并應(yīng)用生成函數(shù)法嚴(yán)格證明該多項(xiàng)式的正交性，且推出了該多項(xiàng)式明確的模值及其遞推關(guān)系、微分關(guān)系和積分關(guān)系等相關(guān)性質(zhì)，以此作為一類以x2m為權(quán)的正交多項(xiàng)式的研究基礎(chǔ)。進(jìn)一步，本研究小組從圖像正交矩理論出發(fā)，首次提出一類基于權(quán)為x2的Legendre多項(xiàng)式的交錯正交矩，并通過重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，說明該交錯矩具有很好的圖像特征表達(dá)能力。
獲獎情況
- 2009年6月，榮獲湖北省第七界“挑戰(zhàn)杯”大學(xué)生課外學(xué)術(shù)科技作品競賽一等獎
鑒定結(jié)果
- 暫無
參考文獻(xiàn)
- [1] Bailey, W. N., The generating function of Jacobi polynomials,J.London Math. Soc., 1938, 13: 8–12. [2] Fikret, A., Some useful properties of Legendre polynomials and its applications to neutron transport equation in slab geometry, Applied [3]. M.R. Teague, Image analysis via the general theory of moments[J], J.Opt. Soc. Am. 70 (9) (1982) 920–930. [4]. 孫家昶, 新的一類三變量正交多項(xiàng)式及其遞推公式[J], 中國科學(xué)(A輯:數(shù)學(xué)), 2008, 51(6): 1071–1092.
同類課題研究水平概述
- 經(jīng)典正交多項(xiàng)式涉及數(shù)學(xué)、物理等諸多應(yīng)用，典型如不變量的模式識別、圖像重構(gòu)、邊緣檢測、圖像識別等。 經(jīng)典正交多項(xiàng)式主要包括區(qū)間[-1, 1]內(nèi)權(quán)為的Jacobi多項(xiàng)式、(-∞, +∞)內(nèi)權(quán)為的Hermite多項(xiàng)式和在(0, ∞)內(nèi)權(quán)函數(shù)為的Laguerre多項(xiàng)式等。然而，近年來對經(jīng)典正交多項(xiàng)式的研究進(jìn)展不大。雖然通過Christoffel定理和Schmidt定理，可以構(gòu)造任意權(quán)的正交多項(xiàng)式，但卻無法得到其解析式，而且隨著權(quán)函數(shù)與多項(xiàng)式階數(shù)的增大，構(gòu)造新正交多項(xiàng)式的難度也隨之增大。 因此，為進(jìn)一步探索經(jīng)典正交多項(xiàng)式的性質(zhì)，本研究小組研究一類權(quán)為x2的Legendre多項(xiàng)式。它不屬于上述各類經(jīng)典多項(xiàng)式，是研究小組下一步研究權(quán)為x2m的Legendre多項(xiàng)式的前期工作。 本研究小組提出的權(quán)為x2的Legendre多項(xiàng)式的正交多項(xiàng)式的解析表達(dá).此外，本文采用生成函數(shù)法對權(quán)為x2的Legendre正交多項(xiàng)式的正交性進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，推出了它明確的模值，并證明了與其相關(guān)的一些性質(zhì)，以此作為一類權(quán)為x2m 的Legendre多項(xiàng)式的研究基礎(chǔ)，也為得到更廣泛的正交多項(xiàng)式的解析式開辟了新的方向。并討論以權(quán)為x2的Legendre正交多項(xiàng)式為核函數(shù)的圖像正交矩在圖像處理中的應(yīng)用。本研究小組設(shè)計(jì)了一個重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，來對比該交錯正交矩與Zernike矩在圖像重構(gòu)上的誤差值。該實(shí)驗(yàn)表明基于權(quán)為x2的Legendre正交多項(xiàng)式的交錯正交矩具有很好的圖像特征表達(dá)能力。
