基本信息
- 項目名稱：
- 一類一維混沌映射的拓撲條件
- 小類：
- 數(shù)理
- 大類：
- 自然科學類學術(shù)論文
- 簡介：
- 混沌現(xiàn)象最本質(zhì)的特征是初值敏感性，保證系統(tǒng)有初值敏感性的一個充分條件是具有正李雅普諾夫指數(shù)。因此研究系統(tǒng)是否具有正李雅普諾夫指數(shù)成為研究系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌的重要方法。在本篇論文中，我們首次從拓撲角度給出了一類一維映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的充分條件。研究此類映射，最重要的是研究臨界點、臨界點軌道及其相互關(guān)系。我們采用臨界點的逆像建立拓撲工具，分析臨界點軌道與臨界點的復(fù)雜關(guān)系，進而導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的拓撲特征及它與李雅普諾夫指數(shù)之間的關(guān)系。
- 詳細介紹：
- 二十世紀中期以來，人們在對物理、天文、氣象等領(lǐng)域的研究中發(fā)現(xiàn)了大量的混沌現(xiàn)象。自此，對混沌現(xiàn)象的研究成為動力系統(tǒng)乃至數(shù)學中的一個長期的前沿和熱點研究領(lǐng)域。對于混沌現(xiàn)象的研究成果已經(jīng)廣泛應(yīng)用于實際問題的解決。 混沌現(xiàn)象的最本質(zhì)特征是初值敏感性，保證有初值敏感性的一個充分條件是系統(tǒng)具有正李雅普諾夫指數(shù)。因此研究系統(tǒng)是否具有正李雅普諾夫指數(shù)成為研究混沌系統(tǒng)的重要方法。如何從拓撲角度描述正李雅普諾夫指數(shù)，這是本文所研究的核心，也是研究和時間有關(guān)的非線性動力系統(tǒng)的熱點和前沿問題。 動力系統(tǒng)研究的就是極限集。六十年代之前研究的是經(jīng)典情況，極限是不動點、極限環(huán)。上個世紀六十年代到八十年代，研究的重點轉(zhuǎn)為更加復(fù)雜的極限集，也就是具有混沌結(jié)構(gòu)的極限集，但研究的系統(tǒng)是雙曲結(jié)構(gòu)的，這類雙曲結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)從拓撲上講是開稠的。進入八十年代以后，研究發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)的非雙曲結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是全測的，自此，對非雙曲結(jié)構(gòu)動力系統(tǒng)的研究成為熱點和前沿。我們項目關(guān)心的就是這類非雙曲動力系統(tǒng)。對于這類問題的研究已經(jīng)有了不錯的成果。推動動力系統(tǒng)發(fā)展的幾個經(jīng)典方程，如Lorenz方程，Van der pol方程，都是非雙曲的，由此可見其重要性。數(shù)學界的最高榮譽是菲爾茲獎，而菲爾茲獎是在國際數(shù)學家大會上產(chǎn)生的，從1986年以來，每一屆的國際數(shù)學家大會都有這一領(lǐng)域的一小時報告。1994年的菲爾茲獎得主Yoccoz正是憑借在這一領(lǐng)域的杰出成果，而獲得這一數(shù)學領(lǐng)域的最高榮譽。 在本篇論文中，我們給出了一類一維映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的拓撲條件。研究此類映射，最重要的是研究臨界點、臨界點軌道及它們的相互關(guān)系。我們研究臨界點逆軌道的運動形態(tài)、相應(yīng)開集的拓撲特征及其它們之間的復(fù)雜關(guān)系，導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的拓撲特征及它與李雅普諾夫指數(shù)之間的確切關(guān)系。 從拓撲的角度來研究這個問題，將加深對此類映射的混沌結(jié)構(gòu)的認識。在本篇論文中，我們采用臨界點的逆像建立拓撲工具，使用這一拓撲工具分析臨界點軌道與臨界點的復(fù)雜關(guān)系，并首次從拓撲角度給出了一類一維映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的充分條件。
作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 二十世紀中期以來，在實際問題的研究中發(fā)現(xiàn)了大量的混沌現(xiàn)象。對混沌的研究成為動力系統(tǒng)乃至數(shù)學中的一個前沿領(lǐng)域?；煦绗F(xiàn)象的最本質(zhì)特征是初值敏感性，而其充分條件是具有正李雅普諾夫指數(shù)。本文從拓撲角度給出了一類一維映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的充分條件。研究此類映射，最重要的是研究臨界點、臨界點軌道及它們的相互關(guān)系。我們研究臨界點逆軌道的動力學特性，從而導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的拓撲條件。
科學性、先進性及獨特之處
- 本論文研究的問題屬于非雙曲動力系統(tǒng)領(lǐng)域，該領(lǐng)域是近二十年來動力系統(tǒng)領(lǐng)域研究的前沿和熱點問題。自1986年以來，每屆國際數(shù)學家大會都有這一領(lǐng)域的一小時報告。Yoccoz憑借在這一領(lǐng)域的杰出貢獻而獲得1994年的菲爾茲獎。 我們對于一類普適的動力系統(tǒng)，首次從拓撲角度給出系統(tǒng)具有混沌現(xiàn)象的條件。
應(yīng)用價值和現(xiàn)實意義
- 二十世紀中期以來，人們在對物理、天文、氣象、生命科學、社會和經(jīng)濟等領(lǐng)域的研究中發(fā)現(xiàn)了大量的混沌現(xiàn)象，例如氣象學中的Lorenz方程，電學中的Van der pol方程等。因此自二十世紀六十年代以來，對于具有不同結(jié)構(gòu)的混沌現(xiàn)象的研究持續(xù)至今，仍然是非線性科學領(lǐng)域前沿和熱點問題。因此，對基于具有廣泛應(yīng)用背景的混沌現(xiàn)象的基礎(chǔ)研究，不論在數(shù)學理論上還是實際應(yīng)用上都具有重大意義。
學術(shù)論文摘要
- 二十世紀中期以來，人們在物理、天文、氣象等領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了大量的混沌現(xiàn)象。這些新發(fā)現(xiàn)引發(fā)了近幾十年來對混沌現(xiàn)象的研究。由于它的困難程度和在解決實際問題中的巨大價值，對混沌現(xiàn)象的研究成為動力系統(tǒng)乃至數(shù)學中的一個長期的前沿和熱點研究方向。 混沌現(xiàn)象最本質(zhì)的特征是初值敏感性，保證有初值敏感性的一個充分條件是系統(tǒng)具有正李雅普諾夫指數(shù)。因此研究系統(tǒng)是否具有正李雅普諾夫指數(shù)成為研究系統(tǒng)是否出現(xiàn)混沌的重要方法。 在本篇論文中，我們首次從拓撲角度給出了一類一維映射出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的充分條件。從拓撲的角度來研究，將加深對此類映射出現(xiàn)混沌的機理的認識。研究此類映射，最重要的是研究臨界點、臨界點軌道及它們的相互關(guān)系。我們采用臨界點的逆像建立拓撲工具，使用這一拓撲工具分析臨界點軌道與臨界點的復(fù)雜關(guān)系，研究臨界點逆軌道的運動形態(tài)、相應(yīng)開集的拓撲特征，進而導(dǎo)出系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的拓撲特征及它與李雅普諾夫指數(shù)之間的關(guān)系。
獲獎情況
- 本論文于2009年4月獲本校第十九屆“馮如杯”學生課外學術(shù)科技作品競賽項目自然科學類一等獎。
鑒定結(jié)果
- 情況屬實。
參考文獻
- 1、M. Benediks and L. Carleson, On iteration of on (-1,1), Annals of Mathematics, 122:1-25, 1985. 2、Zheng Zhiming, On the Abundance of Chaotic Behavior for Generic One-Parameter Families of Maps, Acta Mathematic Sinica, Vol.12,No.4,P.P. 398-412, 1996. 3、Zhang Tingting, Topological Conditions for Positive Lyapunov exponent of Map f= ,Series of Selected Papers from Chun-Tsung Scholars, Peking University, 88-114, 2002. 4、Sebastian van Strien, Hyperbolicity and Invariant Measures for General Interval Maps Satisfying the Misiurewicz Condition, Communication in Mathematical Physics, 128:437-495, 1990. 5、Tomasz Nowicki and Feliks Przytycki, Topological invariance of the Collet-Eckmann property for S-unimodal maps, Fundamenta Mathematicae 33-43, 1998. 6、H.Bruin, J.Rivera-Lerelier, W,Shen, S.van Strien, Large derivatives, backward contraction and invariant densities for interval maps, Inventiones mathematicae 172:509-533, 2008.
同類課題研究水平概述
- 國內(nèi)外有許多數(shù)學工作者從事這一領(lǐng)域的研究，可以歸為如下兩類： 1.對連續(xù)或者離散的動力系統(tǒng)族研究，系統(tǒng)族中“有多少”系統(tǒng)具有混沌特征； 2.從“測度角度”來講，整個動力系統(tǒng)集中“有多少”具有非雙曲的結(jié)構(gòu)。 而一維映射是這類研究中最基本的映射，因此對一維映射的研究在非線性科學中具有重要價值。在這個領(lǐng)域的研究起源于一些具體的映射。在1983年，Benedicks和Carleson從度量的角度給出了映射F(x; a) =1-ax^2 (-1≤x≤1,其中a為參數(shù))具有正Lyapunov指數(shù)的條件。在20世紀90年代Sands從拓撲角度分析了一類非雙曲動力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的機制。隨后在2003年，張婷婷也針對一類特殊的單峰映射F(x; a) =1-ax^2，給出了出現(xiàn)混沌的拓撲條件。她的工作拓展了Sands的結(jié)果。延續(xù)他們的工作，我們從拓撲角度討論更加一般的多峰映射，推廣了他們的結(jié)論。
