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基本信息
- 項(xiàng)目名稱：
- 一類平面高次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的定性分析
- 來(lái)源：
- 第十二屆“挑戰(zhàn)杯”省賽作品
- 小類：
- 數(shù)理
- 簡(jiǎn)介：
- 本文是通過(guò)研究一類平面高次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判定與極限環(huán)問(wèn)題，運(yùn)用基于H.Poincaré思想的形式級(jí)數(shù)法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點(diǎn)的分析；利用對(duì)稱原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中心判定；并利用Hopf分支理論，分析的到了系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。
- 詳細(xì)介紹：
- 本文的題目是《一類平面高次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的定性分析》， 第一作者是王旭康，就讀于湖南工業(yè)大學(xué)，本科學(xué)歷 此文章屬于自然科學(xué)類學(xué)術(shù)論文 在劉興國(guó)教授和呂勇教授的指導(dǎo)下進(jìn)行了對(duì)作品的修改和完善。 本文是通過(guò)研究一類平面高次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判定與極限環(huán)問(wèn)題，運(yùn)用基于H.Poincaré思想的形式級(jí)數(shù)法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點(diǎn)的分析；利用對(duì)稱原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中心判定；并利用Hopf分支理論，分析的到了系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。常微分方程所具有的重大意義主要在于：很多物理與技術(shù)問(wèn)題可以化歸為常微分方程的求解問(wèn)題，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。此外，常微分方程在生態(tài)學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多其他領(lǐng)域中也有重要的應(yīng)用。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。開展對(duì)多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性分析的研究，一方面將豐富和發(fā)展微分方程理論，另一方面也為一些實(shí)際問(wèn)題的解決提供必要的理論基礎(chǔ)。
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作品專業(yè)信息
撰寫目的和基本思路
- 作品目的：在常微分方程定性理論中，中心焦點(diǎn)的判定是一個(gè)極為重要的研究難題。同時(shí)極限環(huán)問(wèn)題也是平面定性理論研究的主要問(wèn)題之一。本論文對(duì)一類平面微分系統(tǒng)進(jìn)行中心焦點(diǎn)的判定和極限環(huán)存在性參數(shù)條件的構(gòu)建。 研究思路：運(yùn)用基于H.Poincaré思想的形式級(jí)數(shù)法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點(diǎn)的分析；利用對(duì)稱原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中心條件的判定；依據(jù)Hopf分支理論，分析構(gòu)建系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。
科學(xué)性、先進(jìn)性及獨(dú)特之處
- 由常微分方程來(lái)直接研究和判斷解的性質(zhì)，這是常微分方程定性理論的基本思想。本論文采用常微分方程定性理論的分析方法與手段，對(duì)一類平面高次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)進(jìn)行定性分析，解決了該系統(tǒng)中心焦點(diǎn)的判定問(wèn)題，分析得到了該系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。本文則是對(duì)一類具有n階細(xì)焦點(diǎn)的多項(xiàng)式微分系統(tǒng)進(jìn)行了定性分析，并通過(guò)判定焦點(diǎn)量的階數(shù)決定了通過(guò)微小擾動(dòng)在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)產(chǎn)生極限環(huán)的個(gè)數(shù)。
應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義
- 隨著現(xiàn)代化社會(huì)的發(fā)展，常微分方程無(wú)論是在工程、宇航等自然科學(xué)領(lǐng)域還是在經(jīng)濟(jì)、金融等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，都有著廣泛的應(yīng)用。對(duì)于數(shù)學(xué),特別是數(shù)學(xué)的應(yīng)用, 常微分方程所具有的重大意義主要在于：很多物理與技術(shù)問(wèn)題可以化歸為常微分方程的求解問(wèn)題，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。
學(xué)術(shù)論文摘要
- 研究一類平面高次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)問(wèn)題。運(yùn)用基于H.Poincaré思想的形式級(jí)數(shù)法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)焦點(diǎn)的分析；利用對(duì)稱原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行中心判定；并利用Hopf分支理論，分析的到了系統(tǒng)極限環(huán)存在性與穩(wěn)定性的若干充分條件。
獲獎(jiǎng)情況
- 無(wú)
鑒定結(jié)果
- 無(wú)
參考文獻(xiàn)
- 參考文獻(xiàn)： [1] 張芷芬，丁同仁，黃文灶，等. 微分方程定性理論[M]. 北京：科學(xué)出版社，1985：41-118，196-233. [2] 葉彥謙. 多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論[M]. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1995. [3] 張錦炎，馮貝葉． 常微分方程幾何理論與分支問(wèn)題[M]． 北京：北京大學(xué)出版社,2000. [4] 陳明暉，鄧明立．常微分方程定性理論與穩(wěn)定性理論的哲學(xué)思考[Ｊ]．自然科學(xué)史研究，2005，24(1):45-52. [5] 劉興國(guó)，黃立宏.一類平面多項(xiàng)式系統(tǒng)極限環(huán)的存在唯一性[Ｊ]．高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)(Ａ輯)，2007，22(4):455-461. [6] 劉一戎，章麗娜.一類5次系統(tǒng)高次奇點(diǎn)的中心焦點(diǎn)判定[Ｊ].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2008，31(1):17-22.
同類課題研究水平概述
- 極限環(huán)問(wèn)題的研究，在常微分方程定性理論中扮演了一個(gè)重要的角色．著名數(shù)學(xué)家Hilbert在1900年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了影響數(shù)學(xué)發(fā)展的23個(gè)問(wèn)題．第16問(wèn)題的后半部分就是極限環(huán)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題是：對(duì)于右端為不高于n次的實(shí)平面微分自治系統(tǒng) ， . 這類方程最多有多少個(gè)極限環(huán)，當(dāng)達(dá)到最大數(shù)目時(shí)它們的相對(duì)位置如何?這個(gè)問(wèn)題一直吸引著眾多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注，其困難程度也一直困擾著人們。為了解決這一難題，已出現(xiàn)了大量的研究論文，也產(chǎn)生了大量的研究方法與優(yōu)秀的成果，在很大程度上促進(jìn)了定性理論的發(fā)展。然而在平面系統(tǒng)極限環(huán)理論的研究中，中心焦點(diǎn)判定是一個(gè)極為重要的研究難題，由于焦點(diǎn)量的階數(shù)決定了通過(guò)微小擾動(dòng)在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)產(chǎn)生極限環(huán)的個(gè)數(shù)，而實(shí)平面極限環(huán)的個(gè)數(shù)首先取決于各奇點(diǎn)鄰域內(nèi)極限環(huán)的個(gè)數(shù)，因而Hilbert第16問(wèn)題解決的第一難關(guān)就是焦點(diǎn)量階數(shù)的研究，即中心焦點(diǎn)的判別。1976年，前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家Arnold提出微分方程穩(wěn)定性理論中至今懸而未決的Arnold問(wèn)題。如果一個(gè)向量場(chǎng)是由具有固定次數(shù)，帶有有理系數(shù)的多項(xiàng)式來(lái)給定，那么是否能給出一個(gè)判定準(zhǔn)則的算法來(lái)定出此向量場(chǎng)中之駐定點(diǎn)的穩(wěn)定性?正如文[1]指出：Arnold問(wèn)題的徹底解決依賴于中心焦點(diǎn)判別．因此不論是Hilbert第16問(wèn)題還是Arnold問(wèn)題，焦點(diǎn)量的研究都具有頭等重要的意義。 迄今為止，關(guān)于中心焦點(diǎn)判別的已有工作大多集中在對(duì)二次、三次具體系統(tǒng)的研究上。1911年，Kapteyn[2]給出了特殊二次系統(tǒng)的中心條件。 1952年，Bautin[3]在Kapteyn條件的基礎(chǔ)上，證明了二次系統(tǒng)焦點(diǎn)量公式(其中第三個(gè)焦點(diǎn)量的符號(hào)，在1981年被秦元?jiǎng)?、劉尊全[4]用計(jì)算機(jī)推導(dǎo)證明是錯(cuò)誤的)，從而徹底地解決了二次系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)判別問(wèn)題。1982年李承治在[5]中直接應(yīng)用一般二次系統(tǒng)的系數(shù)給出了相應(yīng)的判別量．近年來(lái)，關(guān)于多項(xiàng)式系統(tǒng)中心條件的研究逐漸增多[6,7]。然而， 1994年，杜乃林、曾憲武[8],在分析極坐標(biāo)下求解形式級(jí)數(shù)方法的基礎(chǔ)上，得到了一類計(jì)算焦點(diǎn)量的遞推公式，在一定程度上降低了焦點(diǎn)量計(jì)算的難度，但仍然涉及較為復(fù)雜的非線性運(yùn)算，因此，中心焦點(diǎn)判定是一個(gè)極為重要的研究難題。
